5 класс
вариант 1
1. Найдите все трёхзначные числа, у которых вторая цифра в 4 раза больше первой, а сумма всех цифр числа равна 14.
2. Петя разрезал одну буханку хлеба на три одинаковые части, а такую же другую буханку — на четыре одинаковые части. Часть второй буханки оказалась на 100 г легче части первой буханки. Сколько весит буханка? Ответ объясните.
3. Имеются четыре одинаковых грузовика. Кузов одного из них пуст, а три других нагружены песком так, что в один можно загрузить ещё 3 т песка, в другой – 5 т, а в третий – 2 т. При этом 15 т песка ещё не погружены. Смогут ли эти грузовики за один рейс увезти весь песок? Ответ объясните.
4. Как разрезать клетчатый квадрат размером 6x6 клеток на четыре одинаковые фигуры, каждая из которых имеет периметр равный 16, если резать можно только по сторонам клеток? Сторона клетки равна 1.
5. На окружности расположено 20 шашек. Двое игроков по очереди убирают за один ход по 3 шашки, пока не останется 2. Если оставшиеся шашки стояли рядом в первоначальной расстановке, то выигрывает второй, иначе – первый. Кто выиграет при правильной игре?
вариант 2
1. Может ли разность квадратов двух простых чисел быть квадратом натурального числа?
2. Для чисел a, b и c выполняется равенство . Обязательно ли из этого следует, что b=0?
3. Укажите какое-нибудь решение ребуса: 2014 + ГОД = СОЧИ (каждой букве соответствует некоторая цифра; причем разным буквам соответствуют различные цифры).
4. На Олимпийских играх в Сочи присутствовали фотографы из разных стран.
а) Расставьте трех фотографов так, чтобы каждый мог сфотографировать двух других.
б) Можно ли расставить четверых фотографов на площадке таким образом, чтобы каждый из них мог сфотографировать ровно двух других фотографов? (Фотографы А и В могут сфотографировать друг друга, если на отрезке АВ между ними нет других фотографов).
5. Из пяти монет – две фальшивые. Одна из фальшивых монет легче настоящей, а другая – на столько же тяжелее настоящей. Объясните, как за три взвешивания на чашечных весах без гирь найти обе фальшивые монеты.
6 класс
вариант 1
1. Найдите все четырёхзначные числа, у которых вторая цифра в 5 раз больше первой, а произведение всех цифр числа равно 10.
2. Торговец купил на оптовом рынке партию ручек и предлагает покупателям либо одну ручку за 10 рублей, либо три ручки за 20 рублей. При этом он в обоих случаях получает одинаковую прибыль. Какова оптовая цена ручки?
3. Ванна объёмом 100 л снабжена краном и сливом. Из открытого крана в ванну каждую минуту вливается 2 л воды. Открытый слив пропускает 3 л воды в минуту. Сначала кран и слив были закрыты, а ванна пуста. В 12.00 открыли кран. В 12.30 открыли слив. В 14.00 закрыли слив. В какой момент времени ванна будет наполнена целиком?
4. Как разрезать клетчатый квадрат размером 6x6 клеток на четыре одинаковые фигуры, каждая из которых имеет периметр равный 20, если резать можно только по сторонам клеток? Сторона клетки равна 1.
5. Двое играют в такую игру. В белом клетчатом квадрате со стороной в 5 клеток игроки по очереди закрашивают чёрным клетчатые квадраты, в которых все клетки – белые (в частности, можно закрашивать одну белую клетку). Проигрывает тот, после хода которого не осталось белых клеток. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто ходит первым, или его соперник, и как ему для этого надо играть?
вариант 2
1. Найдите сумму цифр в десятичной записи числа .
2. Для чисел а, b и с выполняется равенство . Следует ли из него, что b=0?
3. Укажите какое-нибудь решение ребуса: 2014 + ГОД = СОЧИ (каждой букве соответствует некоторая цифра; причем разным буквам соответствуют различные цифры).
4. Шейх разложил свои сокровища по девяти мешкам: в первый мешок положил 1 кг, во второй – 2 кг, в третий – 3 кг, и так далее, в девятый – 9 кг. Коварный визирь украл часть сокровищ из одного мешка. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь шейху определить, из какого именно?
5. На Олимпийских играх в Сочи присутствовали фотографы из разных стран.
а) Расставьте пятерых фотографов, чтобы каждый смог сфотографировать ровно четырех других фотографов.
б) Можно ли расставить пятерых фотографов на площадке таким образом, чтобы каждый из них мог сфотографировать ровно трех других? (Фотографы А и В могут сфотографировать друг друга, если на отрезке АВ между ними нет других фотографов).
7 класс
вариант 1
1. Мама купила 10 больших пирожных, 7 средних и 4 маленьких. Маленькое пирожное весит вдвое меньше среднего, а большое – втрое больше маленького. Как маме поделить их между шестью детьми, чтобы общий вес пирожных, доставшихся каждому, был одним и тем же, если разрезать пирожные она не хочет?
2. Сумма трёх чисел положительна. Может ли случиться, что сумма любых двух из этих чисел отрицательна?
3. Найдите все пятизначные числа, у которых вторая цифра впятеро больше первой, а произведение всех пяти цифр равно 1000.
4. Как разрезать клетчатый квадрат размером 8x8 клеток на четыре одинаковые фигуры, каждая из которых имеет периметр равный 34, если резать можно только по сторонам клеток? Сторона клетки равна 1.
5. Двое по очереди проводят на плоскости прямые, причем, дважды одну прямую провести нельзя. Выигрывает тот, после хода которого число частей, на которые плоскость разбита проведенными прямыми, впервые разделится на 5. Докажите, что тот, кто ходит вторым, всегда может победить.
вариант 2
1. Найдутся ли три натуральных числа такие, что сумма любых двух из них можно представить в виде степени с основанием три?
2. Про различные числа a и b известно, что . Найдите .
3. Замените в слове МАТЕМАТИКА буквы цифрами или знаками сложения или вычитания так, чтобы получилось числовое выражение, равное 2014. (Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры или знаки, разными – разные). Достаточно привести пример.
4. Два одинаковых прямоугольных треугольника из бумаги удалось положить один на другой так, как показано на рисунке (при этом вершина прямого угла одного треугольника попала на сторону другого). Докажите, что заштрихованный треугольник равносторонний.
5. На Олимпийских играх в Сочи присутствовали фотографы из разных стран. Можно ли расставить шесть фотографов на площади таким образом, чтобы каждый из них мог сфотографировать ровно четырёх других? (Фотографы А и В могут сфотографировать друг друга, если на отрезке АВ между ними нет других фотографов.)
